ОБЩАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ

Текущая версия страницы пока не проверялась
опытными участниками и может значительно отличаться от версии
, проверенной 16 декабря 2022 года; проверки требует 41 правка
.

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия
.

Произведением первых



членов геометрической прогрессии



называется произведение от



до



, то есть выражение вида

Обозначение:



.

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству
:

• Последовательность площадей квадратов
  , где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата <sup>[5]
  
  :8—9</sup>
  .
• Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске
  .
• 2
  , 4
  , 8
  , 16
  , 32
  , 64
  , 128, 256, 512, 1024
  , 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
• 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
• 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
• 
  
  
  
  ,
  
  
  
  ,
  
  
  
  ,
  
  
  
   — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия
  с разностью 0).
• 3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
• 1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Свойства знаменателя геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формулам:

По определению геометрической прогрессии.

Свойства членов геометрической прогрессии

• Рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии:

По определению геометрической прогрессии.

• Формула общего (
  
  
  
  -го) члена:

• Обобщённая формула общего члена:

• Логарифмы
  членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию
  .

Формула общего члена арифметической прогрессии:




.

В нашем случае

,

.

Пусть



— соответственно



-й,



-й,



-й члены геометрической прогрессии, где



. Тогда для всякой такой тройки выполняется комплементарное свойство
геометрической прогрессии, называемое тождеством геометрической прогрессии

:

• Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k
  -го члена, и заканчивая n
  -м членом, можно рассчитать по формуле

  
  
  
  

• Сумма всех членов убывающей прогрессии:

, то



при



, и

при



.

Свойства суммы геометрической прогрессии

где



 — сумма обратных величин, то есть



.

Свойства произведения геометрической прогрессии

1. Геометрическая прогрессия
   Архивная копия
   от 12 октября 2011 на Wayback Machine
   на mathematics.ru
2. Это название, хотя и является общепринятым, неудачно, так как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия является убывающей
   , только если и первый член, и знаменатель прогрессии положительны
   .
4. Если геометрическая прогрессия является конечной последовательностью, то её последний член таким свойством не обладает
   .
5. Роу С.
   Геометрические упражнения с куском бумаги
   . — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923. Архивировано
   19 мая 2017 года.
   
   

Для \(14\) задания необходимо знать теорию арифметической и геометрической прогрессий.

Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.

$a_{n+1}=a_n+d$

$a_{n+1}\hspace{0.17em}$

 — последующий член,

$a_n$

 — предыдущий член и

$d$

— разность арифметической прогрессии.

Формула для нахождения разности:

$d=a_{n+1}-a_n$

Для арифметической прогрессии, где известен первый член 

$a_1$

$d$

, её \(n\)-й член может быть найден по формуле:

Свойство арифметической прогрессии: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Сумма первых членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

И вторая формула для вычисления суммы:

$S_n=\frac{2a_1+d\cdot \left(n-1\right)}{2}\cdot n$

Более подробно можно познакомиться с темой здесь
.

Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

$b_{n+1}=b_n\cdot q$

$b_{n+1}$

 — последующий член,

$b_n$

 — предыдущий член и

$q$

 — знаменатель геометрической прогрессии.

Формула для нахождения знаменателя:

$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$

Для геометрической прогрессии, где дан первый член 

$b_1$

$q$

, её \(n\)-й член может быть найден по формуле:

Свойство геометрической прогрессии: каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому предшествующего и последующего членов.

Также можно найти сумму по формуле:

Более подробно можно познакомиться с темой здесь
.

Среднее геометрическое — математическая величина, которую легко спутать с более часто применяемым средним арифметическим. Для вычисления среднего геометрического следуйте методам, приведенным ниже.

${}_{}$


Возьмите два числа, среднее геометрическое которых необходимо найти.

Например, 2 и 32.












1. 
   
   

   Подставьте числа в приведенное уравнение.
   Если это, скажем, 10 и 15, то подставьте их так, как показано на рисунке.

2. 
   
   

   Найдите «х».
   Начните с перемножения крест-накрест, что означает перемножение пар чисел по диагонали и расстановку результатов умножения по разные стороны знака =. Так как х*х = х ²
   , то уравнение приводится к виду к виду: х ²
   = (результат умножения ваших чисел). Для вычисления «х» извлеките квадратный корень из результата перемножения используемых чисел. Если в результате вычисления корня получится целое число — отлично. Если нет, дайте ответ в виде десятичной дроби или запишите его со знаком корня (в зависимости от того, что требует преподаватель). Ответ, приведенный выше на рисунке, записан в виде упрощенного квадратного корня
   .

1. 
   
   

   • a ₁
     — первое число, a ₂
     — второе число и так далее
   • n — общее количество чисел

2. 
   
   

   Перемножьте числа (a ₁
   , a ₂
   и так далее).
   

3. 
   
   

1. 
   

   
   Например, log 7 + log 9 + log 12 = 2,878521796
   







$$

Разделите результат сложения на общее количество изначально данных чисел. Если вы сложили логарифмы трех чисел, делите полученный результат на три. $Например,\; 2,878521796\; /\; 3\; =\; 0,959507265$





Например, antilog 0,959507265 = 9,109766916. Поэтому среднее геометрическое 7, 9, и 12 равно 9,11
.


$$

Различия между средним арифметическим и средним геометрическим: Для вычисления среднего арифметического , например, чисел 3, 4 и 18, необходимо их сложить 3 + 4 + 18, а затем разделить на 3 (потому что изначально даны три числа). Ответ равен 25/3 или примерно 8,333; это означает, что если сложить 8,3333 три раза подряд, то ответ будет таким же, как при сложении чисел 3, 4, и 18. Среднее арифметическое отвечает на вопрос: «Если все величины имеют одинаковое значение, то каким это значение должно быть, чтобы при суммировании получился один результат?»

1. Напротив, среднее геометрическое отвечает на вопрос: «Если все величины имеют одинаковое значение, то каким это значение должно быть, чтобы при перемножении получился один результат?» Поэтому, чтобы найти среднее геометрическое чисел 3, 4 и 18, мы перемножаем эти числа: 3 x 4 x 18. Получаем 216. Затем мы берем кубический корень из полученного результата перемножения (кубический корень, так как в вычислении участвуют три числа). Ответ будет 6. Другими словами, так как 6 x 6 x 6 = 3 x 4 x 18, то 6 является средним геометрическим чисел 3, 4 и 18.
2. Среднее геометрическое всегда меньше или равно среднему арифметическому. Более подробно читайте тут .
3. Среднее геометрическое рассчитывается только для положительных чисел. Схема решения различных прикладных задач с использованием среднего геометрического не будет работать в случае наличия отрицательных чисел.

Об этой статье

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии , проверенной 21 октября 2018 года; проверки требуют 30 правок .

1. Стационарная последовательность может быть задана следующим образом:
   , т. е.
   .
2. Убывающая последовательность:
   , т. е.
   .
3. Возрастающая последовательность:
   , т. е.
   .

Формула для общего члена

Рассмотрим исходное соотношение:
при


Пусть в этом соотношении
и
. Прибавив к обеим частям выражение
, получаем
















Перемножив указанные равенства и сократив одинаковые сомножители (или подставив вместо скобок в правой части левую часть следующего по порядку уравнения), получим явную формулу члена арифметико-геометрической прогрессии:

Эвристическое доказательство формулы общего члена арифметико-геометрической прогрессии

Арифметико-геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка и задаётся уравнением: